Nota de referência: Figuras de Lissajou


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A figura Lissajous mais simples é uma elipse criada por varrer o ângulo Ø através de um círculo completo (0 a 2π radianos) nas equações:

X = R.sin(Ø) e Y = R.sin(k.Ø + Þ).

A forma da elipse varia com Þ. Quando Þ = 0, a "elipse" é simplesmente uma linha reta. À medida que Þ aumenta, a linha se alarga em uma elipse, que se torna um círculo quando Þ atinge ½π. À medida que Þ aumenta além de ½π, a "elipse" diminui gradualmente até que ele fecha como uma linha reta novamente quando Þ chega a π. Isso se repete quando Þ se move de π até 2π, ou seja, de volta para zero novamente.

O applet à esquerda anima todo este processo por varrer o Ø através de um ciclo completo a cada ¼ segundo enquanto, ao mesmo tempo, avança Þ em 2 graus.

A elipse única resulta quando k = 1 na equação Y = R.sin(k.Ø + Þ). A figura de elipse dupla é produzida por k = 2.

O meu primeiro encontro com figuras de Lissajou foi relacionado com meu interesse em rádio enquanto ainda estava na escola. Usei um osciloscópio para comparar a freqüência e a fase - e, portanto, a estabilidade - de um sinal desconhecido no eixo Y contra uma freqüência padrão conhecida no eixo X. Isto resultou em uma exibição da familiar elipse cintilante. Consegui assim ajustar a fonte de frequência padrão até a cintilação desacelerou e fechar em uma linha estável a 45° em que ponto as freqüências eram as mesmas e em fase. Mais tarde, investiguei no uso de figuras de Lissajou na faculdade como parte do meu currículo de física aplicada.

Uma das minhas principais forças sempre foi a minha capacidade de detectar o bom uso potencial de um princípio ou técnica de um ramo de engenharia em outro. Um exemplo disso foi o uso de figuras de Lissajou para testar a linearidade dos servo-motores e canais de comunicação de dados de um gravador de rastreamento de área ampla conectado a um simulador de vôo.

Programa de Teste para Gravador de Rastreamento

A superfície de gravação vertical do gravador de rastreamento era uma folha de perspex retroiluminada de cerca de 1,5 metros por 1,5 metros na qual um mapa foi montado. A trilha terrestre da aeronave simulada foi traçada no gráfico por uma caneta de desenho montada em um braço de pórtico vertical. A caneta foi conduzida ao longo do braço do pórtico por um servo-motor, que facilitou assim o movimento vertical da caneta (ao longo do eixo Y). Isto correspondeu ao movimento Norte-Sul no gráfico. O próprio pórtico foi conduzido horizontalmente por outro servo-motor, que facilitou assim movimento da caneta (ao longo do eixo X). Isto correspondeu ao movimento Leste-Oeste no gráfico. A posição da caneta foi monitorada por um resolvedor X-Y cuja saída foi alimentada para o simulador de vôo. Os servos de movimento da caneta foram conduzidos por uma saída do simulador.

Para que a rastreamento terrestre da aeronave fosse traçada com precisão, o movi­mento da caneta deveria ser igual e linear ao longo dos dois eixos do gravador. Para testar essa linearidade, escrevi um programa para executar no computador do simulador de vôo. Este programa gerou uma variante de figuras de Lissajou. O que a caneta do gravador de rastreamento traçou no mapa é reproduzido pelo applet à direita. Naturalmente, esta reprodução na tela do seu computador, devido ao seu tamanho pequeno, será um pouco áspera em comparação com o traço do gravador de rastreamento real.

A beleza deste teste é que ele fornece uma verificação estatística distribuída de toda a superfície de gravação. Isso ocorre porque quaisquer irregularidades e torces nas curvas suaves da elipse precessante como está sendo traçada são de alguma forma muito irritantes para a visão humano. Todas as não-linearidades que se espreitam dentro das gamas dinâmicas de conversores analógicos a digitais, servos e resolvedores estão assim expostas. Também pode revelar escorregamento de quadro ou perda de pacotes dentro do canal de telemetria que liga o gravador de rastreamento ao computador.


© October 1997 Robert John Morton | ANTE | CASA