Nota de referência: Figuras de Lissajous

Uma imagem estática do traço em movimento, conforme gerada pelo applet das Figuras de Lissajous, por Robert John Morton. Uma imagem estática do traço em movimento, gerada pelo applet de teste de gravador de trajetória, por Robert John Morton.
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[Para executar estes programas de animação,
por favor consulte o final do documento.]

A figura Lissajous mais simples é uma elipse criada por varrer o ângulo Ø através de um círculo completo (0 a 2π radianos) nas equações:

X = R.sin(Ø) e Y = R.sin(k.Ø + Þ).

A forma da elipse varia com Þ. Quando Þ = 0, a "elipse" é simplesmente uma linha reta. À medida que Þ aumenta, a linha se alarga em uma elipse, que se torna um círculo quando Þ atinge ½π. À medida que Þ aumenta além de ½π, a "elipse" diminui gradualmente até que ele fecha como uma linha reta novamente quando Þ chega a π. Isso se repete quando Þ se move de π até 2π, ou seja, de volta para zero novamente.

O applet à esquerda anima todo este processo por varrer o Ø através de um ciclo completo a cada ¼ segundo enquanto, ao mesmo tempo, avança Þ em 2 graus.

A elipse única resulta quando k = 1 na equação Y = R.sin(k.Ø + Þ). A figura de elipse dupla é produzida por k = 2.

O meu primeiro encontro com figuras de Lissajou foi relacionado com meu inter­esse em rádio enquanto ainda estava na escola. Usei um osciloscópio para com­parar a freqüência e a fase - e, portanto, a estabilidade - de um sinal desconhecido no eixo Y contra uma freqüência padrão conhecida no eixo X. Isto resultou em uma exibição da familiar elipse cintilante. Consegui assim ajustar a fonte de frequência padrão até a cintilação desacelerou e fechar em uma linha estável a 45° em que ponto as freqüências eram as mesmas e em fase. Mais tarde, investiguei no uso de figuras de Lissajou na faculdade como parte do meu currículo de física aplicada.

Uma das minhas principais forças sempre foi a minha capacidade de detectar o bom uso potencial de um princípio ou técnica de um ramo de engenharia em outro. Um exemplo disso foi o uso de figuras de Lissajou para testar a linearidade dos servo-motores e canais de comunicação de dados de um gravador de rastrea­mento de área ampla conectado a um simulador de vôo.

Programa de Teste para Gravador de Rastreamento

A superfície de gravação vertical do gravador de rastreamento era uma folha de perspex retroiluminada de cerca de 1,5 metros por 1,5 metros na qual um mapa foi montado. A trilha terrestre da aeronave simulada foi traçada no gráfico por uma caneta de desenho montada em um braço de pórtico vertical. A caneta foi conduzida ao longo do braço do pórtico por um servo-motor, que facilitou assim o movimento vertical da caneta (ao longo do eixo Y). Isto correspondeu ao movi­mento Norte-Sul no gráfico. O próprio pórtico foi conduzido horizontalmente por outro servo-motor, que facilitou assim movimento da caneta (ao longo do eixo X). Isto correspondeu ao movimento Leste-Oeste no gráfico. A posição da caneta foi monitorada por um resolvedor X-Y cuja saída foi alimentada para o simulador de vôo. Os servos de movimento da caneta foram conduzidos por uma saída do simul­ador.

Para que a rastreamento terrestre da aeronave fosse traçada com precisão, o movimento da caneta deveria ser igual e linear ao longo dos dois eixos do grav­ador. Para testar essa linearidade, escrevi um programa para executar no com­putador do simulador de vôo. Este programa gerou uma variante de figuras de Lissajou. O que a caneta do gravador de rastreamento traçou no mapa é repro­duzido pelo applet à direita. Naturalmente, esta reprodução na tela do seu com­putador, devido ao seu tamanho pequeno, será um pouco áspera em comparação com o traço do gravador de rastreamento real.

A beleza deste teste é que ele fornece uma verificação estatística distribuída de toda a superfície de gravação. Isso ocorre porque quaisquer irregularidades e tor­ces nas curvas suaves da elipse precessante como está sendo traçada são de alguma forma muito irritantes para a visão humano. Todas as não-linearidades que se espreitam dentro das gamas dinâmicas de conversores analógicos a digitais, servos e resolvedores estão assim expostas. Também pode revelar escorregamento de quadro ou perda de pacotes dentro do canal de telemetria que liga o gravador de rastreamento ao computador.

Para Executar Estes Programas de Animação

Você precisa do Java instalado em seu computador. Então, para cada um dos dois programas:

  1. Crie uma nova pasta em um local conveniente.
  2. baixe o arquivo lissajou.jar ou trackrec.jar.
  3. mova-o para sua nova pasta.
  4. descompacte o arquivo 'jar'.
    [Um arquivo 'jar' é meramente um arquivo 'zip' com extensão '.jar'.]
  5. abra um terminal.
  6. mude o diretório para sua nova pasta.
  7. digite o comando: "java lissajou" ou "java trtest".

Nota: não obstante os avisos "oficiais", estes programas não vão explodir o seu computador nem causar qualquer outro tipo de dano fantasioso. Eles simplesmente desenham gráficos na tela. Nos bons e velhos tempos, estes programas simples­mente eram executados dentro da página da web, onde suas imagens estáticas são exibidas agora. Os applets incorporados ainda são executaveis em versões anter­iores a 2017 dos navegadores com o Java 1.6 instalado e as versões do Web Start ainda são executaveis nas versões anteriores a 2019 dos navegadores com o Java 1.8 instalado. Para ler a história rançosa deste triste retrocesso na funcionalidade da Web, por favor clique aqui. [Back to top.]


© October 1997 Robert John Morton | ANTE | CASA